Giải Phương Trình Bậc Nhất (ax + b = 0): Lý Thuyết, Biện Luận & Code Mẫu 2025

Giải phương trình bậc nhất là phần kiến thức bạn gặp rất sớm (thường từ Toán lớp 8) nhưng lại “đi theo” bạn khá lâu: lên lớp 9, học hàm số, làm bài toán thực tế, thậm chí khi viết code kiểm tra điều kiện đầu vào.

Mình viết bài này theo đúng kiểu “học đến đâu chắc đến đó”: từ lý thuyết phương trình bậc nhất một ẩn dạng ax + b = 0, cách biện luận phương trình bậc nhất, đến bài tập và code giải phương trình bậc nhất (Python, C++, Java) cập nhật theo cách làm an toàn trong 2025 (có epsilon cho số thực).

Bạn đang cần nhớ nhanh cách giải phương trình ax + b = 0? Hay hay bị sai dấu khi chuyển vế? Hoặc viết code mà gặp case a = 0 là “toang”? Bài này xử lý hết.

Tổng quan về phương trình bậc nhất một ẩn

Định nghĩa phương trình bậc nhất dạng ax + b = 0

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng:

• ax + b = 0, với x là ẩn số

• a, b là các số đã biết

Điểm mấu chốt: số mũ của x là 1.

Ví dụ quen thuộc:

• 2x + 3 = 0

• -5x + 10 = 0

• 0.5x - 4 = 0

Nhiều bạn thấy “có x” là gọi bậc nhất — nghe có vẻ hợp lý nhưng lại sai.

Ví dụ: x² + 1 = 0 không phải bậc nhất.

Tự hỏi nhanh: Nếu trong đề có x², √x, hoặc x ở mẫu… bạn có còn chắc nó là bậc nhất “chuẩn” không? (Thường là không — phải biến đổi hoặc đặt điều kiện.)

Xác định các hệ số a, b và điều kiện xác định

Trong ax + b = 0:

• a là hệ số của x

• b là hằng số tự do

Ví dụ: 7x - 21 = 0

Ta có a = 7, b = -21.

Về điều kiện xác định: với dạng chuẩn ax + b = 0 thì luôn xác định.

Nhưng nếu phương trình có mẫu, căn, hoặc biểu thức đặc biệt, bạn cần đặt điều kiện trước.

Ví dụ (có mẫu): \(\frac{2x+1}{x-3}=0\) thì cần x ≠ 3.

Checklist đặt điều kiện (nhanh, dùng được ngay):

• Có mẫu chứa x → ghi mẫu ≠ 0

• Có căn chứa x → biểu thức dưới căn ≥ 0

• Có log → điều kiện > 0 (nếu gặp ở mức nâng cao)

Ý nghĩa hình học: Giao điểm với trục hoành

Phương trình ax + b = 0 liên quan trực tiếp đến hàm số bậc nhất:

• y = ax + b

Nghiệm của phương trình ax + b = 0 chính là hoành độ giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục hoành (y = 0).

Ví dụ: y = 2x + 3

Giao với trục hoành khi 2x + 3 = 0 ⇒ x = -3/2.

Liên hệ để dễ nhớ:

• a là hệ số góc

• a > 0: đường thẳng đi lên

• a < 0: đường thẳng đi xuống

• a = 0: đường thẳng song song trục hoành

Cách giải và biện luận phương trình bậc nhất (Kiến thức cốt lõi)

Trường hợp 1: Hệ số a khác 0 (Nghiệm duy nhất x = -b/a)

Khi a ≠ 0, phương trình ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất theo công thức nghiệm phương trình bậc 1:

• x = -b/a

Ví dụ 1: 3x + 6 = 0

• 3x = -6

• x = -2

Theo công thức: x = -6/3 = -2.

Ví dụ 2: -4x + 10 = 0

• -4x = -10

• x = 2.5

Theo công thức: x = -10/(-4) = 2.5.

Khi làm bài, bạn nên ghi rõ tập nghiệm S:

• S = { -2 }

• S = { 2.5 }

Gợi ý trình bày “chuẩn vở sạch chữ đẹp”:

• Nếu a ≠ 0, PT có nghiệm duy nhất \(x = -\frac{b}{a}\).

• Vậy tập nghiệm S là \(S = \left\{-\frac{b}{a}\right\}\).

Mẹo nhỏ từ trải nghiệm của mình: Hồi mới học, mình hay sai ở bước “đổi dấu b”. Cách tránh là luôn viết trung gian:

ax = -b → x = -b/a.

Viết thêm 1 dòng nhưng giảm sai dấu rõ rệt.

Trường hợp 2: Hệ số a bằng 0 (Biện luận Vô nghiệm & Vô số nghiệm)

Khi a = 0, phương trình trở thành:

• 0x + b = 0 ⇒ b = 0

Lúc này phải biện luận phương trình bậc nhất theo b:

• Nếu b = 0: 0 = 0 đúng với mọi x ⇒ vô số nghiệm

• Nếu b ≠ 0: b = 0 sai ⇒ vô nghiệm

Ví dụ 1: 0x + 0 = 0

• Đúng với mọi x

• Tập nghiệm: S = ℝ

Ví dụ 2: 0x + 5 = 0

• 5 = 0 sai

• Tập nghiệm: S = ∅

Câu hỏi “gài bẫy” hay gặp: “Chia hai vế cho a” có được không?

• Có, chỉ khi a ≠ 0.

• Nếu a = 0 mà vẫn chia, là sai ngay từ logic toán.

Sơ đồ tư duy tóm tắt công thức nghiệm phương trình bậc 1

Bạn có thể ghi lại theo kiểu sơ đồ sau (rất tiện để học và để code):

• Bắt đầu với ax + b = 0

• Nếu a ≠ 0

• Nghiệm duy nhất: x = -b/a

• S = { -b/a }

• Nếu a = 0

• Nếu b = 0

• Vô số nghiệm

• S = ℝ

• Nếu b ≠ 0

• Vô nghiệm

• S = ∅

Nếu bạn đang tìm “giải pt bậc 1 online”, thì các website cũng chạy đúng logic rẽ nhánh này thôi — khác nhau chủ yếu ở cách họ hiển thị kết quả.

Các dạng phương trình đưa về bậc nhất thường gặp (Toán lớp 8)

Quy tắc chuyển vế đổi dấu và thu gọn biểu thức

Đây là kỹ năng nền, dùng cực nhiều.

Quy tắc:

• Chuyển vế đổi dấu khi đưa hạng tử sang vế kia

• Thu gọn: gom các hạng tử cùng loại

Ví dụ: 2x - 5 = x + 7

• 2x - x = 7 + 5

• x = 12

• S = {12}

Ví dụ: 3(x - 2) + 1 = 2x + 5

• 3x - 6 + 1 = 2x + 5

• 3x - 5 = 2x + 5

• x = 10

• S = {10}

Checklist chống sai dấu (làm bài nhanh mà chắc):

• Khai triển ngoặc trước (đặc biệt với dấu “-” phía trước ngoặc)

• Chuyển vế xong mới cộng/trừ tiếp

• Làm xong nhớ thử lại 1 lần (thế nghiệm vào phương trình)

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu (Quy đồng & Khử mẫu)

Phương trình chứa ẩn ở mẫu bắt buộc có điều kiện xác định (nếu mẫu phụ thuộc x). Đây là phần nhiều bạn “mất điểm oan”.

Ví dụ: \(\frac{x+1}{2} = \frac{x-3}{4}\)

Bước làm:

• Điều kiện xác định: mẫu 2 và 4 luôn khác 0 ⇒ không cần điều kiện cho x

• Quy đồng hoặc khử mẫu bằng nhân LCM là 4

• Nhân 4 hai vế:

• 2(x+1) = (x-3)

• 2x + 2 = x - 3

• x = -5

• S = {-5}

Ví dụ có điều kiện: \(\frac{2}{x-1} = 1\)

• Điều kiện: x ≠ 1

• Nhân (x - 1) hai vế:

• 2 = x - 1

• x = 3

• So với điều kiện: 3 ≠ 1 đúng

• S = {3}

Lưu ý quan trọng: Khi khử mẫu, có thể sinh nghiệm “ảo”. Vì vậy:

• Luôn ghi điều kiện trước (nếu có)

• Ra nghiệm xong → kiểm tra lại với điều kiện

Micro-story (nhỏ nhưng đáng nhớ): Mình từng chấm bài cho một bạn làm đúng hết bước, ra x = 1, nhưng lại quên điều kiện x ≠ 1. Kết quả bị trừ điểm dù biến đổi “đẹp”. Từ đó mình luôn xem điều kiện như “hàng rào an toàn” — bước đầu tiên, không phải bước phụ.

Phương pháp giải phương trình tích

Phương trình tích có dạng:

• A(x) · B(x) = 0

Cách làm:

• A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

Ví dụ: (2x - 1)(x + 3) = 0

• 2x - 1 = 0 ⇒ x = 1/2

• x + 3 = 0 ⇒ x = -3

• S = {1/2, -3}

Ví dụ gần Toán lớp 8: (x - 5)(3x + 6) = 0

• x = 5

• 3x + 6 = 0 ⇒ x = -2

• S = {5, -2}

Mẹo: Nếu đã là dạng tích rồi, đừng nhân ra vội. Giữ dạng tích thường nhanh và ít sai hơn.

Ứng dụng: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Dạng “lập phương trình bậc nhất” thực chất vẫn là giải phương trình bậc nhất sau khi lập xong.

Ví dụ:

Một bạn mua 3 quyển vở và 2 cây bút. Tổng 34.000đ.

Biết mỗi cây bút 5.000đ. Hỏi mỗi quyển vở bao nhiêu?

Gọi giá 1 quyển vở là x (đồng).

Ta có:

• 3x + 2·5000 = 34000

• 3x + 10000 = 34000

• 3x = 24000

• x = 8000

Kết luận: mỗi quyển vở 8.000đ.

Câu hỏi tự kiểm tra: Nếu x ra số âm hoặc “lẻ” kiểu 8.333đ thì có hợp lý với giá tiền không? (Đây là cách tự soát rất thực tế.)

Checklist lập phương trình (dùng cho bài toán thực tế):

• Chọn ẩn có ý nghĩa rõ ràng (đơn vị kèm theo)

• Viết đúng công thức: tổng = phần 1 + phần 2 + …

• Giải xong → kiểm tra tính hợp lý (âm/dương, lớn/nhỏ)

Bài tập tự luyện và các lỗi sai thường gặp

Tuyển tập bài tập trắc nghiệm & tự luận có đáp án

Mình chia 2 nhóm để bạn luyện nhanh — làm xong là tự tin hơn hẳn.

A. Trắc nghiệm (chọn đáp án đúng)

1) Giải: 5x - 15 = 0

• A. x = -3

• B. x = 3

• C. x = 15

• D. vô nghiệm

Đáp án: B (x = 3)

2) Giải: 0x + 7 = 0

• A. S = ℝ

• B. S = {0}

• C. S = ∅

• D. x = 7

Đáp án: C

3) Giải: -2x + 1 = 0

• A. x = -1/2

• B. x = 1/2

• C. x = 2

• D. x = -2

Đáp án: B

4) Giải: \(\frac{x-2}{3} = 4\)

• A. x = 10

• B. x = 14

• C. x = -10

• D. x = 2

Đáp án: B (x - 2 = 12 ⇒ x = 14)

B. Tự luận (ghi rõ tập nghiệm S)

1) 2(x + 3) - 5 = x + 4

Đáp án:

• 2x + 6 - 5 = x + 4

• 2x + 1 = x + 4

• x = 3

• S = {3}

2) \(\frac{3x}{5} - 2 = 1\)

Đáp án:

• 3x/5 = 3

• 3x = 15

• x = 5

• S = {5}

3) \(\frac{2}{x+1} = \frac{1}{2}\)

Điều kiện: x ≠ -1

Đáp án:

• Nhân 2(x+1): 4 = x + 1

• x = 3

• S = {3}

4) (x - 1)(2x + 6) = 0

Đáp án: x = 1 hoặc x = -3

• S = {1, -3}

Bạn nắm chắc phần này là đủ tự tin với mọi bài giải phương trình bậc nhất dạng ax + b = 0. Và nếu cần làm bài tập tin học, bạn cũng đã có sẵn code giải phương trình bậc nhất để chạy ngay.

Nếu bạn muốn, mình có thể thêm một mục “bài tập nâng cao đưa về ax + b = 0” (có tham số m) để bạn luyện phần biện luận sâu hơn.